ConfiguraÃÃes centrais no problema restrito dos 4 corpos no plano

AUTOR(ES)

Jean Fernandes Barros

DATA DE PUBLICAÇÃO

2008

RESUMO

Neste trabalho de pesquisa encontram-se demonstrados de forma analÃtica os resultados numÃricos, obtidos na dÃcada de 40, e confirmados, tambÃm, numericamente, por SimÃ, na dÃcada de 70. Atà nosso trabalho, o melhor que se tinha, neste sentido, era a tese de doutorado de J. R. Gannaway, na Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, U.S.A., 1981, intitulada ``Determination of all central configurations in the planar four-body problem with one inferior mass , orientada por Arenstorf, na qual, usando mÃtodos analÃticos, demonstrou casos particulares de alguns resultados do Pedersen. PorÃm, a parte substancial do trabalho do Pedersen ainda estava sem demonstraÃÃo analÃtica, principalmente, a parte referente à curva de degenerescÃncia. A intenÃÃo de Pedersen era contar o nÃmero de configuraÃÃes centrais no Problema Restrito dos 4 Corpos no Plano (PR4CP). Para isso, Pedersen procurou saber, inicialmente, aonde o problema degenerava-se. E entÃo, concluiu que as configuraÃÃes centrais na condiÃÃo de degenerescÃncia formam uma curva fechada e simples no interior do triÃngulo equilÃtero, cujos vÃrtices definem a soluÃÃo Lagrangeana do problema. No CapÃtulo 2, ocupamo-nos por descrever analiticamente esta curva. E como uma consequÃncia, obtivemos a caracterizaÃÃo algÃbrica da condiÃÃo de degenerescÃncia, a qual torna nosso mÃtodo eficaz. O nosso mÃtodo à inspirado no trabalho de Vincent, cujo mÃtodo diz respeito à separaÃÃo de raÃzes de um polinÃmio. Conjuntamente ao mÃtodo de Vincent, utilizamos: o Resultante de PolinÃmios, a Regra de Sinais de Descartes, o Teorema Fundamental sobre PolinÃmios SimÃtricos, as FÃrmulas de Cardano e a Natureza das RaÃzes da EquaÃÃo CÃbica. Para realizarmos os cÃlculos utilizamos o software MAPLE. No CapÃtulo 3, demonstramos, por mÃtodos analÃticos, que as configuraÃÃes centrais convexas (ver Teorema 18) e nÃo-convexas exteriores ao triÃngulo (ver Teorema 19) sÃo nÃo-degeneradas. Estes teoremas sÃo nossas primeiras contribuiÃÃes ao PR4CP. No CapÃtulo 4, mostramos, por mÃtodos analÃticos, que a curva de degenerescÃncia à fechada e simples, em conformidade com os resultados numÃricos de Pedersen. AlÃm disso, obtivemos algo inÃdito: a curva de degenerescÃncia à analÃtica (ver CapÃtulo 4, SeÃÃes 4.3 e 4.4). Estes resultados sÃo mais uma das nossas contribuiÃÃes ao PR4CP. No capÃtulo 5, passamos a realizar a contagem do nÃmero de configuraÃÃes no PR4CP. Inicialmente, mapeamos a curva de degenerescÃncia no espaÃo dos parÃmetros, mais precisamente, no interior do 2-simplexo. E verificamos que a curva mapeada à fechada e simples (ver CapÃtulo 5, SeÃÃo 5.1). Desta forma, utilizando o Teorema da Curva de Jordan e o Teorema da AplicaÃÃo Inversa, realizamos a contagem do nÃmero de configuraÃÃes centrais no PR4CP (ver CapÃtulo 5, SeÃÃo 5.2).

ASSUNTO(S)

number of central configurations of the planar restricted four-body problem problema dos n corpos central configurations of the planar restricted four-bdy problem problema restrito dos 4 corpos no plano curva de degenerescÃncia degenerate curve matematica configuraÃÃes centrais no problema dos n corpos no plano planar restricted four-body problem n-body problem configuraÃÃes centrais no problema restrito dos 4 corpos no plano nÃmero de configuraÃÃes centrais no problema restrito dos 4 corpos no plano central configurations of the planar n-body problem

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