Espectro e dimensão Hausdorff de operadores bloco-Jacobi com perturbações esparsas distribuídas aleatoriamente / Spectrum and Hausdorff dimension of block-Jacobi matrices with sparse perturbations randomly distributed

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DATA DE PUBLICAÇÃO

2010

RESUMO

Neste trabalho buscamos caracterizar o espectro de uma classe de operadores bloco--Jacobi limitados definidos em $l^2(\Lambda,\mathbb{C}^L)$ ($\Lambda: \mathbb{Z}_+\times\{0,1,\ldots,L-1\}$ representa uma faixa de largura $L\ge 2$ no semi--plano $\mathbb{Z}_+^2$) e sujeitos a perturbações esparsas (no sentido que as distâncias entre as ``barreirascrescem geometricamente à medida que estas se afastam da origem) distribuídas aleatoriamente. Tais operadores são construídos a partir da soma de Kronecker de matrizes de Jacobi $J$, cada qual atuando em uma direção do espaço. Demonstramos, por meio da bloco--diagonalização do operador, que %o estudo de suas principais propriedades espectrais dependem da %se limita à caracterização da ``medida de mistura$\frac{1}{L}\sum_{j=0}^{L-1}\mu_j$, $\mu_j$ a medida espectral associada à matriz de Jacobi $J^j=J+2\cos(2\pi j/L)I $. Para tanto, buscamos primeiramente caracterizar cada uma das medidas $\mu_j$, explorando e aperfeiçoando algumas técnicas bastante conhecidas no estudo de operadores esparsos unidimensionais. Demonstramos, por exemplo, que a seqüência de ângulos de Prüfer (variáveis que, juntamente com os raios de Prüfer, parametrizam as soluções da equação de autovalores) é uniformemente distribuída no intervalo $[0,\pi)$, o %que %resultado que nos permite determinar o comportamento assintótico médio das soluções da equação de autovalores. Tal resultado, aliado às técnicas desenvolvidas por Marchetti \textit{et. al.} em \cite{MarWre} e a uma adaptação dos critérios de Last e Simon \cite{LS} para operadores esparsos, nos permitem demonstrar a existência de uma transição aguda (pontual) entre os espectros singular--contínuo e puramente pontual. Empregamos em seguida os resultados de Jitomirskaya e Last presentes em \cite{JitLast} e obtemos a dimensão Hausdorff exata associada à medida $\mu_j$, dada por $\alpha_j=1+\frac{4(1-p^2)^2}{p^2(4- (\lambda-2\cos(2\pi j/L))^2)}$ ($\lambda\in[-2,2]$), recuperando um resultado análogo obtido por Zlato\v s em \cite{Zla}. Por fim, adaptamos tais resultados à situação da medida de mistura associada à matriz bloco--Jacobi, obtendo $\alpha=\min_{j\in\mathcal{I}(\lambda)}\alpha_j$, $\mathcal{I}(\lambda):\{m \in\{0,1,\ldots,L-1\}:\lambda\in[-2+2\cos(2\pi j/L),2+2\cos(2\pi j/L)]\}$, como sua dimensão Hausdorff exata. Estudamos modelos idênticos com esparsidades sub e super-geométricas, obtendo na primeira situação um espectro puramente pontual (de dimensão Hausdorff nula) e na segunda um espectro puramente singular--contínuo (de dimensão Hausdorff 1). Finalmente, verificamos a existência de transição entre os espectros puramente pontual e singular--contínuo em um modelo com esparsidade super-geométrica cuja dimensão Hausdorff associada à medida espectral é nula.

ASSUNTO(S)

análise funcional functional analysis jacobi matrices matrizes de jacobi spectral theorem sturm-liouville operators. teoria espectral transição espectral

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